线性代数3-方程组=>矩阵

一、方程组的几何解释

线性方程组的矩阵形式AX=B
系数矩阵(matrix of coefficients)A，
未知向量(vectors of unknown)X，
右侧向量B.

二维平面：
一个二元一次方程的解是一条直线。
行图像：每个完整方程用直线表现出来，两直线的交点是两个二元一次方程的解。
列图像：系数矩阵变成多个列向量，把未知向量分解成列向量的系数，然后找到正确的未知向量系数（线性组合）得到右侧向量B。列向量是vector，转换成向量的加法。
*如果是三个方程，则是三维向量的加法。
*列向量的个数，就是线性方程组的维度。

三维空间：
三点组成一个平面，一个三元一次方程的解是一个平面。
两个方程的解是两个二元一次方程组，还是两个平面，解是直线，两个平面之间有交线
三个方程的解是三个平面相交，想象成两个平面相交在一条直线上，再来一个平面，直线与平面相交于一个点上。
一个含有3个未知数的方程组在三维空间中确定一个平面，两个方程组确定一条直线，三个方程组确定一个点，这个点就是方程组的解，当然前提是这三个方程组所确定的平面两两不平行。而三维空间的行图像很难画出。
列图像：还是用向量加法。

列的线性组合是否能覆盖整个三维空间？或者说所有B是否都有对应的解？
非奇异矩阵(non-singular matrix)
可逆矩阵(invertible matrix)

如果是奇异矩阵，不可逆矩阵

行图像中看即至少有两个方程组所表示的平面是平行的，

列图像中看即至少有两个列向量是指向同一方向的（即不相互独立，共线向量）

此时，只有b处在这个向量和另一个非共线向量所表示的平面内时，方程组才有解。


二、消元法(elimination)解方程组
矩阵与向量相乘：
[2 5] [1]       [1]       [5]   [12]
[1 3] [2] = 1 [2] + 2[3] = [7 ]

上三角矩阵
增广矩阵 augment

将主对角线上的主元固定（0不能做主元），把主元下面的元素消为0。
右侧向量回代过程：A中加入b列向量变成增广矩阵，增广就是增加的意思，增加了新列，左侧矩阵消元时，右侧向量也会跟着变化
将U和c代入原式子可得解
消元法失效的情况（指不能得到三个主元）：当主元上为0时，就通过交换行将主元位置变为非0，当通过交换行还不能解决0主元的时候，消元法就失效了。（不能解决0主元的矩阵是不可逆矩阵）


三、矩阵运算一个3×3矩阵 乘以 一个列向量 =  列向量

等于列向量每个元素乘以一列 之和

一个行向量 乘以 一个3×3矩阵 = 行向量
等于行向量每个元素乘以一行 之和

矩阵相乘如何取行、列向量？

得到每一行如a(1,:)

要取左侧矩阵的第一行，右侧矩阵的三列（即整个矩阵）

得到每一个元素，如a(2,3)

则要取左侧矩阵的第二行，右侧矩阵的第三列进行行列相乘

相乘的法则：如何计算？

所谓相乘，是行a或列b同一序号的元素乘积之和

即ab = sum(aibi)

左侧矩阵取出的行向量/整个矩阵，每次相乘时取列元素/列向量

右侧矩阵取出的列向量/整个矩阵，每次相乘时取行元素/行向量

取出来的列向量、行向量序号要对应，比如第一列乘第一行