重拾线性代数·2

强烈推荐原博客：孟岩：理解矩阵（一）

容纳运动是空间的本质特征。事实上，不管是什么空间，都必须容纳和支持在其中发生的符合规则的运动（变换）。

1. 线性空间是什么样的对象的集合？

线性空间中的任何一个对象，通过选取基和坐标的办法，都可以表达为向量的形式。

2. 线性空间中的运动如何表述的？也就是，线性变换是如何表示的？

从线性空间中的一个点运动到任意的另外一个点，都可以通过一个线性变化来完成。在线性空间中，当你选定一组基之后，不仅可以用一个向量来描述空间中的任何一个对象，而且可以用矩阵来描述该空间中的任何一个运动（变换）。而使某个对象发生对应运动的方法，就是用代表那个运动的矩阵，乘以代表那个对象的向量。

在线性空间中选定基之后，向量刻画对象，矩阵刻画对象的运动，用矩阵与向量的乘法施加运动。

矩阵的本质是运动的描述。== 矩阵是线性空间里的变换的描述。

矩阵是线性空间中的线性变换的一个描述。在一个线性空间中，只要我们选定一组基，那么对于任何一个线性变换，都能够用一个确定的矩阵来加以描述。对于一个线性变换，只要你选定一组基，那么就可以找到一个矩阵来描述这个线性变换。换一组基，就得到一个不同的矩阵。所有这些矩阵都是这同一个线性变换的描述，但又都不是线性变换本身。

什么是基呢？这里只要把基看成是线性空间里的坐标系就可以了。
若矩阵A与B是同一个线性变换的两个不同的描述（之所以会不同，是因为选定了不同的基，也就是选定了不同的坐标系），则一定能找到一个非奇异矩阵P，使得A、B之间满足这样的关系：

A = P-1BP

所谓相似矩阵，就是同一个线性变换的不同的描述矩阵。
什么相似标准型，对角化之类的内容，都要求变换以后得到的那个矩阵与先前的那个矩阵式相似的，为什么这么要求？因为只有这样要求，才能保证变换前后的两个矩阵是描述同一个线性变换的。